Sevval
New member
Daha biçimsel yaklaşımı benimseyen bir öğrenci için konu oldukça nettir:
1. p → q verilir.
2. “Tersi” isteniyorsa q → p yazılır.
3. “Karşıtı” isteniyorsa ¬p → ¬q yazılır.
4. “Karşıt tersi” isteniyorsa ¬q → ¬p yazılır.
5. Gerekirse doğruluk tablosuyla eşdeğerlik kontrol edilir.
Bu yaklaşımın avantajı, kişisel yorumları mümkün olduğunca azaltmasıdır.
Örneğin:
p: “Sınavı geçtim.”
q: “Dersi tamamladım.”
Orijinal:
p → q
Tersi:
q → p
Karşıtı:
¬p → ¬q
Karşıt tersi:
¬q → ¬p
Burada gerçek hayattaki ilişkinin ne olduğundan bağımsız olarak sembolik dönüşümleri yapabiliriz.
Bu, matematiksel mantığın gücünü gösteriyor: Önce ifadelerin biçimini belirliyoruz, sonra doğruluk ilişkisini inceliyoruz.
Toplumsal ve gündelik yaklaşım neden yine de değerli olabilir?
Buna karşılık bazı öğrenciler yalnızca sembolleri görmekten ziyade “Bu ne anlama geliyor?” sorusuna önem verir.
Bu da gereksiz bir yaklaşım değildir.
Mesela:
“Eğer bir kişi üniversite mezunuysa, bir iş bulmuştur.”
gibi bir ifade düşünelim.
Burada p:
“kişi üniversite mezunudur”
q:
“kişi iş bulmuştur”
olsun.
Matematiksel olarak tersi:
“Eğer kişi iş bulmuşsa, üniversite mezunudur.”
olur.
Fakat gerçek hayatta bu tersin doğru olup olmadığını değerlendirmek için iş piyasası, eğitim seviyesi, meslekler, ekonomik koşullar ve başka değişkenlere bakmak gerekir.
Burada mantıksal biçim ile gerçek dünyadaki nedensellik arasındaki fark ortaya çıkıyor.
Bir ifadenin biçimsel olarak nasıl dönüştürüldüğü ile ifadenin gerçek dünyada doğru olup olmadığı aynı soru değildir.
Bence bu, konunun yalnızca ezberlenmemesi açısından oldukça önemli.
“P ise q” aslında neden tek yönlü bir ilişki kuruyor?
Bir başka sık hata da “p → q” ifadesini “p ve q birbirine denktir” şeklinde yorumlamak.
Oysa:
p → q
sadece p’nin q için yeterli bir koşul olduğunu söyler.
Eğer p gerçekleşirse q gerçekleşmelidir.
Fakat q’nun gerçekleşmesi bize otomatik olarak p'nin gerçekleştiğini söylemez.
4’ün katı olma örneğinde bu çok açık:
“4’ün katı olmak → çift olmak”
doğrudur.
Ama:
“Çift olmak → 4’ün katı olmak”
yanlıştır.
Bunun için iki yönlü ilişkinin kurulması gerekir:
p → q
ve
q → p
İkisi birlikte doğru olduğunda:
p ↔ q
şeklindeki “p ancak ve ancak q” ilişkisine ulaşırız. LibreTexts kaynaklarında da iki yönlü koşulun bu şekilde tanımlandığı görülüyor. Mathematics LibreTexts
Günlük hayatta yapılan en büyük hata: Tersini otomatik olarak doğru kabul etmek
Bence bu konu yalnızca sınavlarda çıkan bir mantık sorusu değil. Günlük düşünmede de benzer hatalar oldukça yaygın.
Örneğin:
“Eğer yağmur yağıyorsa, zemin ıslaktır.”
Bu durumda:
p → q
olabilir.
Fakat:
q → p
yani:
“Zemin ıslaksa yağmur yağıyordur.”
demek zorunda değiliz.
Çünkü zemini sulama aracıyla ıslatmış olabiliriz, bir temizlik yapılmış olabilir veya başka bir neden bulunabilir.
Daha da ilginç olanı, karşıt tersi ele alalım:
¬q → ¬p
“Zemin ıslak değilse yağmur yağmıyordur.”
İdealize edilmiş koşullarda bu, orijinal önermeyle eşdeğer kabul edilir. Ancak gerçek dünyadaki ifadelerde gizli varsayımlar önem kazanabilir. Örneğin yağmur yağıyor olmasına rağmen özel bir kaplama nedeniyle zeminin gözle görülür şekilde ıslanmaması gibi durumlar düşünülebilir.
Bu bize mantıksal biçim ile gerçek dünya modelinin birbirinden ayrılması gerektiğini hatırlatıyor.
Peki “P ise q’nun tersi nedir?” sorusunun kısa cevabı ne?
Soruda “tersi” ile converse kastediliyorsa:
p → q
ifadesinin tersi:
q → p
olur.
Fakat soru “karşıtı” diyorsa:
¬p → ¬q
olur.
“Karşıt tersi” diyorsa:
¬q → ¬p
olur.
En önemli ilişki ise:
p → q ≡ ¬q → ¬p
ve
q → p ≡ ¬p → ¬q
şeklindedir. OpenStax+1
Yani bütün mesele aslında hangi kelimenin kullanıldığına dikkat etmek.
Forum için tartışma: Sizce hangisi daha öğretici?
Benim açımdan bu konunun en ilginç tarafı, “doğru cevap” ile “doğru düşünme yöntemi” arasındaki fark.
Sadece “tersi q → p” diye ezberlemek sınavdaki soruyu çözebilir. Fakat neden böyle olduğunu doğruluk tablosuyla görmek, karşıt ve karşıt ters arasındaki ayrımı anlamak ve gerçek hayattan örneklerle bunun neden önemli olduğunu görmek çok daha kalıcı bir öğrenme sağlayabilir.
Buradan birkaç tartışma sorusu çıkarabiliriz:
1. Siz “p → q” ifadesini ilk öğrendiğinizde en çok hangi kavramı karıştırdınız: tersi, karşıtı veya karşıt tersi?
2. Sizce matematiksel mantık öğretilirken önce semboller ve doğruluk tabloları mı kullanılmalı, yoksa günlük hayattan örneklerle mi başlanmalı?
3. “Bir ifade doğruysa tersi de doğrudur” yanılgısının günlük hayatta ne tür düşünme hatalarına yol açabileceğini düşünüyorsunuz?
4. Mantık problemlerinde veri ve biçimsel kurallar mı daha önemli, yoksa ifadenin gerçek hayattaki bağlamını anlamak mı?
5. Ve belki en temel soru: Sizce “tersi”, “karşıtı” ve “karşıt tersi” gibi terimlerin Türkçedeki kullanımı yeterince açık mı, yoksa farklı kaynaklarda kullanılan terminoloji öğrencilerin kafasını gereksiz yere mi karıştırıyor?
Sonuçta p → q ile karşılaştığımızda yapılacak en güvenli şey, önce hangi dönüşümün istendiğini belirlemek. “Tersi” deniyorsa q → p, “karşıtı” deniyorsa ¬p → ¬q, “karşıt tersi” deniyorsa ¬q → ¬p.
Ve bence konunun en değerli noktası şu: Bir önermeyi başka bir biçime çevirmek ile o yeni önermenin doğru olduğunu varsaymak aynı şey değildir. Mantıksal dönüşümü doğru yapmak birinci adımdır; ortaya çıkan ifadenin doğruluğunu değerlendirmek ise ikinci adımdır.
Kaynaklar: OpenStax, Contemporary Mathematics, “Equivalent Statements” ve “Key Concepts”; Mathematics LibreTexts, “Converse, Inverse, and Contrapositive”; Mathematics LibreTexts, “Implications”. Mathematics LibreTexts+3OpenStax+3OpenStax+3
1. p → q verilir.
2. “Tersi” isteniyorsa q → p yazılır.
3. “Karşıtı” isteniyorsa ¬p → ¬q yazılır.
4. “Karşıt tersi” isteniyorsa ¬q → ¬p yazılır.
5. Gerekirse doğruluk tablosuyla eşdeğerlik kontrol edilir.
Bu yaklaşımın avantajı, kişisel yorumları mümkün olduğunca azaltmasıdır.
Örneğin:
p: “Sınavı geçtim.”
q: “Dersi tamamladım.”
Orijinal:
p → q
Tersi:
q → p
Karşıtı:
¬p → ¬q
Karşıt tersi:
¬q → ¬p
Burada gerçek hayattaki ilişkinin ne olduğundan bağımsız olarak sembolik dönüşümleri yapabiliriz.
Bu, matematiksel mantığın gücünü gösteriyor: Önce ifadelerin biçimini belirliyoruz, sonra doğruluk ilişkisini inceliyoruz.
Toplumsal ve gündelik yaklaşım neden yine de değerli olabilir?
Buna karşılık bazı öğrenciler yalnızca sembolleri görmekten ziyade “Bu ne anlama geliyor?” sorusuna önem verir.
Bu da gereksiz bir yaklaşım değildir.
Mesela:
“Eğer bir kişi üniversite mezunuysa, bir iş bulmuştur.”
gibi bir ifade düşünelim.
Burada p:
“kişi üniversite mezunudur”
q:
“kişi iş bulmuştur”
olsun.
Matematiksel olarak tersi:
“Eğer kişi iş bulmuşsa, üniversite mezunudur.”
olur.
Fakat gerçek hayatta bu tersin doğru olup olmadığını değerlendirmek için iş piyasası, eğitim seviyesi, meslekler, ekonomik koşullar ve başka değişkenlere bakmak gerekir.
Burada mantıksal biçim ile gerçek dünyadaki nedensellik arasındaki fark ortaya çıkıyor.
Bir ifadenin biçimsel olarak nasıl dönüştürüldüğü ile ifadenin gerçek dünyada doğru olup olmadığı aynı soru değildir.
Bence bu, konunun yalnızca ezberlenmemesi açısından oldukça önemli.
“P ise q” aslında neden tek yönlü bir ilişki kuruyor?
Bir başka sık hata da “p → q” ifadesini “p ve q birbirine denktir” şeklinde yorumlamak.
Oysa:
p → q
sadece p’nin q için yeterli bir koşul olduğunu söyler.
Eğer p gerçekleşirse q gerçekleşmelidir.
Fakat q’nun gerçekleşmesi bize otomatik olarak p'nin gerçekleştiğini söylemez.
4’ün katı olma örneğinde bu çok açık:
“4’ün katı olmak → çift olmak”
doğrudur.
Ama:
“Çift olmak → 4’ün katı olmak”
yanlıştır.
Bunun için iki yönlü ilişkinin kurulması gerekir:
p → q
ve
q → p
İkisi birlikte doğru olduğunda:
p ↔ q
şeklindeki “p ancak ve ancak q” ilişkisine ulaşırız. LibreTexts kaynaklarında da iki yönlü koşulun bu şekilde tanımlandığı görülüyor. Mathematics LibreTexts
Günlük hayatta yapılan en büyük hata: Tersini otomatik olarak doğru kabul etmek
Bence bu konu yalnızca sınavlarda çıkan bir mantık sorusu değil. Günlük düşünmede de benzer hatalar oldukça yaygın.
Örneğin:
“Eğer yağmur yağıyorsa, zemin ıslaktır.”
Bu durumda:
p → q
olabilir.
Fakat:
q → p
yani:
“Zemin ıslaksa yağmur yağıyordur.”
demek zorunda değiliz.
Çünkü zemini sulama aracıyla ıslatmış olabiliriz, bir temizlik yapılmış olabilir veya başka bir neden bulunabilir.
Daha da ilginç olanı, karşıt tersi ele alalım:
¬q → ¬p
“Zemin ıslak değilse yağmur yağmıyordur.”
İdealize edilmiş koşullarda bu, orijinal önermeyle eşdeğer kabul edilir. Ancak gerçek dünyadaki ifadelerde gizli varsayımlar önem kazanabilir. Örneğin yağmur yağıyor olmasına rağmen özel bir kaplama nedeniyle zeminin gözle görülür şekilde ıslanmaması gibi durumlar düşünülebilir.
Bu bize mantıksal biçim ile gerçek dünya modelinin birbirinden ayrılması gerektiğini hatırlatıyor.
Peki “P ise q’nun tersi nedir?” sorusunun kısa cevabı ne?
Soruda “tersi” ile converse kastediliyorsa:
p → q
ifadesinin tersi:
q → p
olur.
Fakat soru “karşıtı” diyorsa:
¬p → ¬q
olur.
“Karşıt tersi” diyorsa:
¬q → ¬p
olur.
En önemli ilişki ise:
p → q ≡ ¬q → ¬p
ve
q → p ≡ ¬p → ¬q
şeklindedir. OpenStax+1
Yani bütün mesele aslında hangi kelimenin kullanıldığına dikkat etmek.
Forum için tartışma: Sizce hangisi daha öğretici?
Benim açımdan bu konunun en ilginç tarafı, “doğru cevap” ile “doğru düşünme yöntemi” arasındaki fark.
Sadece “tersi q → p” diye ezberlemek sınavdaki soruyu çözebilir. Fakat neden böyle olduğunu doğruluk tablosuyla görmek, karşıt ve karşıt ters arasındaki ayrımı anlamak ve gerçek hayattan örneklerle bunun neden önemli olduğunu görmek çok daha kalıcı bir öğrenme sağlayabilir.
Buradan birkaç tartışma sorusu çıkarabiliriz:
1. Siz “p → q” ifadesini ilk öğrendiğinizde en çok hangi kavramı karıştırdınız: tersi, karşıtı veya karşıt tersi?
2. Sizce matematiksel mantık öğretilirken önce semboller ve doğruluk tabloları mı kullanılmalı, yoksa günlük hayattan örneklerle mi başlanmalı?
3. “Bir ifade doğruysa tersi de doğrudur” yanılgısının günlük hayatta ne tür düşünme hatalarına yol açabileceğini düşünüyorsunuz?
4. Mantık problemlerinde veri ve biçimsel kurallar mı daha önemli, yoksa ifadenin gerçek hayattaki bağlamını anlamak mı?
5. Ve belki en temel soru: Sizce “tersi”, “karşıtı” ve “karşıt tersi” gibi terimlerin Türkçedeki kullanımı yeterince açık mı, yoksa farklı kaynaklarda kullanılan terminoloji öğrencilerin kafasını gereksiz yere mi karıştırıyor?
Sonuçta p → q ile karşılaştığımızda yapılacak en güvenli şey, önce hangi dönüşümün istendiğini belirlemek. “Tersi” deniyorsa q → p, “karşıtı” deniyorsa ¬p → ¬q, “karşıt tersi” deniyorsa ¬q → ¬p.
Ve bence konunun en değerli noktası şu: Bir önermeyi başka bir biçime çevirmek ile o yeni önermenin doğru olduğunu varsaymak aynı şey değildir. Mantıksal dönüşümü doğru yapmak birinci adımdır; ortaya çıkan ifadenin doğruluğunu değerlendirmek ise ikinci adımdır.
Kaynaklar: OpenStax, Contemporary Mathematics, “Equivalent Statements” ve “Key Concepts”; Mathematics LibreTexts, “Converse, Inverse, and Contrapositive”; Mathematics LibreTexts, “Implications”. Mathematics LibreTexts+3OpenStax+3OpenStax+3